第八章 二重积分

1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积 (A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)

平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/A∫∫xdσ，y=1 /A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。

平面薄片的转动惯量 (Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ;其中ρ(x，y)为在点(x，y)处的密度。

平面薄片对质点的引力 (FxFyFz)

2、二重积分存在的条件当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x，y)在D上的二重积分必定存在。

3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，则有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于 -|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性质设M，m分别是 f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性质(二重积分的中值定理)设函数 f(x，y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重积分中标量 在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素