微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。

两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。

如果商的极限为1，则分子分母为等价无穷小。极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。

为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。

利用 Δy ~ d y （数学一，二用泰勒公式）生成等价无穷小 ——

当 f ′（x0）≠ 0 时 ，Δy ~ d y ，在原点计算Δy和d y ，得到常用的4个等价无穷小

sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2

最好再记住 1-cos x ~ x 2 ∕ 2 （e xp（x）记以e为底的指数函数）

等价无穷小的复合拓展 ——

x→0 时，α (x)是无穷小，则 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，……

标准阶无穷小与无穷小的阶 ——

高等微积分中，把 x→0（或0+）时，幂函数 y = （x的μ次方） 称为μ 阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是μ阶无穷小。于是，常用的1阶无穷小有，

x ， sin x ， tg x ， arcsin x ， arctg x ， e xp（x）-1

常用的2 阶无穷小有 1- cos x

等价无穷小的差为高阶无穷小 ——

值得记一记的有（常见的三阶无穷小） x ? sin x ~ x 3 / 6

x ? lnx（1+ x）~ x2 / 2 ， exp（x）-（1 + x） ~ x2/2！ ，……

不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。

比如 y = ln（1+x）+ 1-cos x 是1 阶无穷小

再复杂一点， 5x ? sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x ? sin x ），是1阶无穷小

由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。

无穷小的积是高阶无穷小。

无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。

比如， x→0 时， x2 + 3x 与 x 同为1阶。实际上，x 2 + 3x = x（x+3），后因子极限非0

但 x sin（1/x）的阶数不能确定。

在阶的意识下对0 / 0型未定式作结构分析与调整 ——

例1 x→∞， 求 lim x sin（2x/（x2+1））

分析 x→∞ 时，2x/（x2+1）是无穷小，sin（2x /（x2+1））~（2x /（x2+1），可替换。

例2 x→0 时， 求 lim (5x ? sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)

分析 原极限 = lim (4x + 1- cos x + x ? sin x) / (2x +x -lnx)

分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化0项法”， 分子分母同除以（商式中的）最低阶的无穷小。 原极限 = 2

例3 x→0 时， 求 lim（1/ x2）ln（sin x / x）

分析（ 数三学过幂级数） sin x = x - x3 / 6 + ……

ln（sin x / x）= ln（1— x 2 / 6 + ……）~ —x 2 / 6 ，可替换。

无穷小怪例 ——不能确定阶数的无穷小

怪例1 α = x sin（1/x）和β = x 都是无穷小，但是它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。

更有意思的是，若 γ = x的k次方 ，则无论 k = 0.9,还是k = 0.99, k = 0.999,……，α总是比γ高阶的无穷小。

怪例2 x → +∞ 时 ， l i m （x的n次方）∕exp（x）= 0 即 l i m （x的n次方）exp（-x）= 0

这表明：“x趋于 +∞ 时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

或说， x趋于 +∞ 时， exp（-x）是“任意大阶的”无穷小。它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。

怪例3 x → +∞ 时 ， lim l n x ∕ （x的δ次方）= 0

　其中，δ是任意取定的一个很小的正数。这表明： x 趋于 +∞ 时，“对数函数lnx总是比 x的δ次方 都还要低阶的无穷大。”或说，1 / l n x是“阶数任意小” 无穷小。

无穷小的阶与级数，广义积分收敛性 ——

判断级数，广义积分收敛性，首先判断绝对收敛性。

如果用“无穷小量”的语言来说，则，“级数收敛的必要条件是，n → +∞时 ，级数的通项是无穷小量。”

这个条件不是充分条件。如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p ， 则p > 1时级数收敛，p≤1时级数发散。

“已经判定”是重要前提。请看（并记住）怪例

尽管1 / n ln n 是较 1/n 高阶的无穷小，但是，通项为 1 / n ln n 的级数也发散.然而，通项为 1 / n (ln n)2 的级数收敛．你却不能确定其无穷小阶．

*若n → +∞时 ，两个正项级数和的通项是同阶无穷小，则这两个级数或者都收敛，或者都发散。（这是极限形式的比较法的实质。）

例 ∑ Un为正项级数，下列结论中正确的是______

（A）若n → +∞时 ，lim n Un=0 ，则∑ Un收敛。

（B）若∑ Un收敛，则n → +∞时 ，lim n2 Un = 0

（C）若存在非零常数λ，使得n → +∞时 ，lim n Un = λ，则级数 ∑ Un发散。

（D）若级数∑ Un发散，则存在非零常数λ，使得lim n Un = λ

分析 （A）错，条件虽然说明n → +∞时 ，Un是比1/n高阶的无穷小，但我们不能确定其阶数。

答案为（C），它说明n → +∞时 ，Un是与1/n 同阶的无穷小。

对于广义积分.有判断定理 ——

若x→ +∞时 ，f（x）是（能够确定的）大于1阶的无穷小，则f（x）的无穷积分收敛。（能够确定的）

若x→ b时，f（x）是（能够确定的）低于1阶的无穷大，且f（x）在[a，b]上只有这一个“暇点”，则f（x）在[a，b]上的暇积分收敛。