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2012考研数学:无穷小的阶及其应用

考研数学  时间: 2019-03-09 10:52:28  作者: 匿名 

微积分还有一个名称,叫“无穷小分析”。

两个无穷小的商求极限,既是典型的未定式计算,又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。

如果商的极限为1,则分子分母为等价无穷小。极限为0 ,分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数,分子分母为同阶无穷小。

为了考试,要尽可能记住一些常用的等价无穷小。

利用 Δy ~ d y (数学一,二用泰勒公式)生成等价无穷小 ——

当 f ′(x0)≠ 0 时 ,Δy ~ d y ,在原点计算Δy和d y ,得到常用的4个等价无穷小

sin x ~ x ; ln(1+x)~ x ;e xp(x)-1 ~ x ;√(1+ x)-1 ~ x ∕ 2

最好再记住 1-cos x ~ x 2 ∕ 2 (e xp(x)记以e为底的指数函数)

等价无穷小的复合拓展 ——

x→0 时,α (x)是无穷小,则 sin α (x) ~α (x) ; ln(1+α (x))~ α (x) ,……

标准阶无穷小与无穷小的阶 ——

高等微积分中,把 x→0(或0+)时,幂函数 y = (x的μ次方) 称为μ 阶无穷小。与它同阶的无穷小,都是μ阶无穷小。于是,常用的1阶无穷小有,

x , sin x , tg x , arcsin x , arctg x , e xp(x)-1

常用的2 阶无穷小有 1- cos x

等价无穷小的差为高阶无穷小 ——

值得记一记的有(常见的三阶无穷小) x ? sin x ~ x 3 / 6

x ? lnx(1+ x)~ x2 / 2 , exp(x)-(1 + x) ~ x2/2! ,……

不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。(“多项式型无穷小”。)它与其中最低阶的那个无穷小同阶。

比如 y = ln(1+x)+ 1-cos x 是1 阶无穷小

再复杂一点, 5x ? sin x - cos x + 1 = 4x + (1- cos x )+ (x ? sin x ),是1阶无穷小

由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”,或“无穷小的线性组合”,所以,“无穷小的和”,或“无穷小的线性组合”,其阶数都是未定式。

无穷小的积是高阶无穷小。

无穷小(在区间背景下)也是有界变量。所以,“无穷小与有界变量的积”是无穷小,但阶数是未定式。

比如, x→0 时, x2 + 3x 与 x 同为1阶。实际上,x 2 + 3x = x(x+3),后因子极限非0

但 x sin(1/x)的阶数不能确定。

在阶的意识下对0 / 0型未定式作结构分析与调整 ——

例1 x→∞, 求 lim x sin(2x/(x2+1))

分析 x→∞ 时,2x/(x2+1)是无穷小,sin(2x /(x2+1))~(2x /(x2+1),可替换。

例2 x→0 时, 求 lim (5x ? sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)

分析 原极限 = lim (4x + 1- cos x + x ? sin x) / (2x +x -lnx)

分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化0项法”, 分子分母同除以(商式中的)最低阶的无穷小。 原极限 = 2

例3 x→0 时, 求 lim(1/ x2)ln(sin x / x)

分析( 数三学过幂级数) sin x = x - x3 / 6 + ……

ln(sin x / x)= ln(1— x 2 / 6 + ……)~ —x 2 / 6 ,可替换。

无穷小怪例 ——不能确定阶数的无穷小

怪例1 α = x sin(1/x)和β = x 都是无穷小,但是它们的商是震荡因子sin(1/x),没有极限。两个无穷小不能比较。

更有意思的是,若 γ = x的k次方 ,则无论 k = 0.9,还是k = 0.99, k = 0.999,……,α总是比γ高阶的无穷小。

怪例2 x → +∞ 时 , l i m (x的n次方)∕exp(x)= 0 即 l i m (x的n次方)exp(-x)= 0

这表明:“x趋于 +∞ 时,指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

或说, x趋于 +∞ 时, exp(-x)是“任意大阶的”无穷小。它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。

怪例3 x → +∞ 时 , lim l n x ∕ (x的δ次方)= 0

 其中,δ是任意取定的一个很小的正数。这表明: x 趋于 +∞ 时,“对数函数lnx总是比 x的δ次方 都还要低阶的无穷大。”或说,1 / l n x是“阶数任意小” 无穷小。

无穷小的阶与级数,广义积分收敛性 ——

判断级数,广义积分收敛性,首先判断绝对收敛性。

如果用“无穷小量”的语言来说,则,“级数收敛的必要条件是,n → +∞时 ,级数的通项是无穷小量。”

这个条件不是充分条件。如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p , 则p > 1时级数收敛,p≤1时级数发散。

“已经判定”是重要前提。请看(并记住)怪例

尽管1 / n ln n 是较 1/n 高阶的无穷小,但是,通项为 1 / n ln n 的级数也发散.然而,通项为 1 / n (ln n)2 的级数收敛.你却不能确定其无穷小阶.

*若n → +∞时 ,两个正项级数和的通项是同阶无穷小,则这两个级数或者都收敛,或者都发散。(这是极限形式的比较法的实质。)

例 ∑ Un为正项级数,下列结论中正确的是______

(A)若n → +∞时 ,lim n Un=0 ,则∑ Un收敛。

(B)若∑ Un收敛,则n → +∞时 ,lim n2 Un = 0

(C)若存在非零常数λ,使得n → +∞时 ,lim n Un = λ,则级数 ∑ Un发散。

(D)若级数∑ Un发散,则存在非零常数λ,使得lim n Un = λ

分析 (A)错,条件虽然说明n → +∞时 ,Un是比1/n高阶的无穷小,但我们不能确定其阶数。

答案为(C),它说明n → +∞时 ,Un是与1/n 同阶的无穷小。

对于广义积分.有判断定理 ——

若x→ +∞时 ,f(x)是(能够确定的)大于1阶的无穷小,则f(x)的无穷积分收敛。(能够确定的)

若x→ b时,f(x)是(能够确定的)低于1阶的无穷大,且f(x)在[a,b]上只有这一个“暇点”,则f(x)在[a,b]上的暇积分收敛。

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