因为很喜欢学数学，所以大一大二学数学还是比较用功的，不过学的程度当然不高了，很久没有接触数学，难免生疏不少，尽管有兴趣但是刚复习难度真不小，尤其是下册，其实有一份对数学兴趣还是很不错了，至少你很乐意去学习。

从暑假之前书本基本大致看完了，不算太早，当然，最初就是看课本了，那时候什么也不懂，就是看书，看定义，做课后练习题，我同学和我都是按同样的步骤，我复习时有个特点，就是不太乐意对答案，一方面是没有答案在手，不愿意买，也懒得对，另一方面是莫名奇妙的自信，总觉得自己写的都是对的，当然不会的题目还是想办法参考一下的。不过我建议大家最好找到答案，看过程，看精确度，等到复习最后才发现，其实不会的真不多，而错误的原因很大程度上在于准确度不高，粗心等毛病，所以准确度和细心是整个复习过程中贯彻始终的，无论是刚开始还是复习的最后，这点我深有感悟，你会再多，算错了，抄错了，最后和你不会结果是一样的，所以，千万要有耐心，你差的不是时间，而是克服你的惰性，不要眼高手低，养成勤于动手的习惯，久而久之，你会发现它的用处的。

其实第一次看书，可能觉得很难，也算是比较新的东西了，不过不用害怕，这是第一次你要克服的东西，需要掌握的东西一定想法弄懂(顺便说下，其实我用大纲解析的唯一目的是确定考试范围，至于什么要掌握，什么要理解我没有在意，毕竟刚开始都是一视同仁的，刚开始不用区分的太开，第一次是要尽量去理解的，而至于什么掌握啊，到后来你买些复习资料，做些题目，哪块特别重要，你会明白的)，尽量不要把它撇开，不过之前你也可以大概过一下定义，知道你要面对的是什么，然后再开始第一轮复习。

看定义，看定理，看什么？要看定义使用的前提，使用的条件，这样你看完后以后碰到题很容易明白它要考察的是哪块内容，数学复习最高境界就是看到题目，你知道出题人考察的是哪块内容，他设置了怎样的陷阱，你怎样去避开它，看出出题人的心思，这与清楚明白定义是分不开的，所谓打基础就是这个意思。

就比如定积分的定义这个例子，你可能觉得定义复杂苦涩，但是如果你明白它就是一个一个小长方形面积的极限和，既然是极限那么它肯定跟求极限也能拉上关系，不就是明显一种思路吗？例子呢就是给你解题的步骤和思路，怎样解，怎样写参考的是例子，而且有时候一个简单的例子给你提供解题思路，让你开眼界，之后就是课后题目了，你定义理解的如何，怎样应用，就在于这些题目，如果你没有举一反三还有记性特别好的话，尽量多练习，加深理解，一定不要懒惰哦。

很多人对于书本上的定理证明过程有疑问，到底有没有必要掌握，哪一年的数二真题不就是拿拉格朗日中值定理作文章，直接证明定理。我同学有问：泰勒公式可以证明吗？柯西中值定理呢？当然不行了，你可以用它们去理解，但是考察的不还是书上证明吗？从另外想，知道它的思路既可以加深理解也可以用于其他方面，比如线性代数中R(AB)M,这里x任意，存在即可，不强调存在方式。

无穷大是对任一M(无论多大)，总存在x0,当x>x0时，f(x)>M(注，这里的无穷大时x趋近正无穷时，其他同理)，这里的存在有限制。

从定义，再结合图像，无穷算是无界的一种。但是无界不一定无穷

无界是一个区间而无穷是针对一个趋势，举个例子1/x,在(0,+∞)是无界而同是这个函数x趋近0是无穷而趋近无穷则是0

第二个例子xsinx,x趋近无穷满足无界的定义，是无界，但不是无穷，因为无论怎样取x0,x>x0总有函数等于0，也就是不存在这样的函数。也就是说对于一个无界的区间你如果有意识的话可以挑选一些数，有一定顺序组成一个新的函数的话完全可以成为无穷了。正如例子中你选π/2,5π/2,9π/2……是不是无穷？

这也涉及到一元函数的极限概念，考虑一下二元函数极限是x,y无论哪条路径都可以趋近某个值，其实一元函数也有个路径，不过这个路径指的是在x轴无论0，2，4，6……还是1，3，5……等等都是趋近同一值，这是想通之处了。而对于某一类的无界它也不过是挑取某个路径达到无穷。不能满足所有路径都是。

2．无穷小和零

无穷小是趋势，一定条件下的趋势，同是一个函数在不同条件下地位不同比如x趋近0时时无穷小x趋近1就是，0是无论那种情况都是趋近0，所以0是无穷小。但是无穷小和0不是等价的，这点把握到这里就可以了。

3．常见的几种点

驻点：导数为0的点，不仅有定义，而且导数必须存在且为0

极值点：相对点，相对于附近某一小临域，它是最大〔小〕的值，这里强调这个临域存在，临域不是区间；这样的点有一些性质，若可导则导数必为0，但导数为0不全是极值点(x^3)

但是这不是判断极值点的唯一条件，还要根据定义，这就属于不可导的点了(|x|的0点)，所以极值点穿插很多，多重考虑，别忘了必须有定义。

拐点：性质有点类似极值点只是要求不同，它是某一临域左右凸凹性改变，同理既要考虑二阶导数是0还有二阶导不存在的穿插，还要注意最基本，有定义

4．可积，原函数，变限积分

可积指定积分存在〔注意是定积分不包括广义积分〕，按几何意义，曲线与x轴面积〔这里也可以说是负面积〕存在。

原函数是函数，不是一个值，判定是否存在原函数，对它求导后导函数是该函数。

变限积分定积分下限为常数，上限是自变量，集合两者，把x确定为一个值它就是定积分，某种意义上它可以算是某个原函数，但是这是一般情况，总体来说它还是一个函数。

可积不一定有原函数〔一个值存在怎么断定一个趋近有函数呢，〕，有第一类间断点是没有原函数但是可以有定积分，可积。有原函数不一定可积〔1/x〕，它们之间关系颇为复杂，求一个定积分我们有能力的就是利用奇偶性或者间接利用原函数〔牛顿，来布尼次公式〕，一马归一马，注意区别。

而可积和变限积分联系挺大的，一般区间可积的话变限积分不仅存在而且连续，不深入讨论。

原函数和变限积分是最易混淆的，两者都是函数，求的过程容易觉得变限积分算是原函数的其中一个，一般函数可以这么以为，不过深入讨论，决不这么简单，对于存在原函数的上述结论正确，可是最大的区别就是有第一类间断点没有原函数，但是变限积分存在且连续，图形上理解就是有间断点，不影响面积存在性而且不影响连续性，这点可以证明。

5．一元与二元函数的可微，可导和连续

一元函数和二元函数在连续，可微，可导虽然从书上看性质不太一样但这决不违背定理，两个之间有莫大的关系。

一元函数和二元函数的连续都要求极限存在且等于函数值，不同就是因为不同元函数因为空间的分布不同决定了极限的趋近方式不同，因为一元只有x是一条轴，一根线，那么教材上强调的更多是左右趋近，其实另一角度看，正如概念区别1来说其实方式也有很多，因为别看只是一条轴它却有无穷多个点，极限是要求连续取的，可是为了区别，我们有时候会跳跃取。正如数列极限中2n,2n+1,只有同时取尽才保证极限存在，而二元函数分布于一个平面这就决定了方向的无穷性了，随意一个一元函数都可以决定一个方向y=x,y=x^2等等，作为一条曲线可以作为一条方向只要它过所确定的点即可，一元函数其实就是沿着(x,0)对二元函数的极限，这也就说明二元函数连续，那么在该点确定的一元函数也连续。举个例子f(x,y)在0,0连续，那么f(x,0)肯定在x=0连续，一般到特殊，但是反之却不可以，这也从一定程度说明证明二元函数不连续，可以选取不同y,x关系，极限不同则不连续。

可导，一元函数中有可导必连续，这是因为导数的定义决定了极限只能是0/0型的极限，自变量趋近，函数必然趋近，可导必连续，可是二元函数却没有可导必连续，为什么呢？那是因为二元函数中的可导指的是偏导，偏导就说明是作为一元函数求导的，尽管它是二元的，既然作为一元函数求导，根据一元函数可导必连续概念，我们自然会有连续的概念，不过这里的连续不是说二元函数连续，而是它作为一元函数连续，什么意思呢？还是上面说的f(x,y)在0,0处对x偏导存在，说明f(x,0)在x为0处连续而不是f(x,y)在x,y=0,0连续，因为连续作用的单位不是整个二元函数，而二元函数中的某个小分支是一元函数，连续只作用到一个分支上了。

再说可微，因为一元和二元函数的可微定义是不一样的，一元函数定义可微和导数关系拉的很近，Δx将它们穿在一块，有着可微等价于可导的结论，这也是极限定义。而二元函数定义可微时则是将Δx,Δy同时定义在内，无穷小也与两者都相关，所以单从二元函数可导〔偏导〕不能得到可微，因为偏导只是和某个有关，既然涉及两个那么两个关系没那么大了，可微是更深层次考察函数，单从定义式我们就可以得到两个结论，1连续(x趋近x0,y趋近y0试试)，2可导〔另某个Δ为0再对照定义〕

从分析看，其实一元和二元差别之处就在于定义不同，研究范围不同，你如果把二元特殊为一元研究一元函数的性质它都有了。

6．定积分与面积

可能大家对它俩关系有了明确的界定，但是我还是想说下，对不太明白的人或许有点用。

从定义看定积分是Δx与f(xi)的乘积和，可能由于定积分是从面积引出来的大家或许有错觉，它就是面积，但从定义来Δx我们规定若为正那么f(x)不一定全部为正，这样也不是面积了，假如我们将面积也矢量话(注意，面积只能是正)，那么这里的定积分就是矢量面积和了，这只帮助理解。在研究定积分中会出现积分上下限颠倒，上面小于下边，这就更说明定积分不是面积了，只有积分上限大于下限，f(x)>0,才是真正意义的面积，所以给你一个题目求面积可不是单纯求定积分，需要你自己分段加符号。二重积分也天然不是体积，同理

7．定积分和二重积分

看上去区别很大的，从几何意义上讲，定积分是矢量面积(方便叙述用的)，二重积分是矢量体积(同理)。区别大家很容易看到，着重说联系。二重积分的累次积分中我们就看到了它与定积分的某种联系，两次积分，补充下，如果你掌握了定积分求法，那么二重积分你还要掌握的是积分区域的划分，保持清醒的是积分区域中x,y的关系不要应用到f(x,y)中，两者关系不大〔虽然我不学曲面积分，但我隐约明白去年积分区域和函数关系很大，注意区别〕在极坐标换元中易出错。

求法决定二重积分与定积分关系，二重积分写法有好多种，但你要明白求法是固定的∫∫f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dx)dy或∫(∫f(x,y)dy)dx,明白了吗？就是说二重积分是定积分特殊的一种，积分函数是个特别的函数，这样定积分常用的方法二重积分也可以用，尤其是分布积分法，不过用时注意一定要明白积分变量是哪个别混了，这效果和换积分次序差不多一样，不过你换必须不得主观变换上下限，这里避免主观，可以少出错。这个有什么用呢，当然是面对你积分积不出来时如e^(x^2)

8．二阶非齐次微分方程的两个类型(e^(rx)和sinwx+coswx)

注意，不多说，想说的是在求特解的时候不要弄混了，为了避免混淆，这样理解：不论那种形式都看作f(x)e^(rx)(acoswx+bsinwx)

r取0看是什么，x取0看又是什么，两个同时取零呢？

这样在找特征方程解对照时注意如果实根，把虚部看做0这样把实部和虚部同时对比两者同时符合则同，不符合则一般

9．二元函数中的两类求极值

第一类，不带条件求极值，判定方法：偏导都为0，再根据二阶偏导，A,B,C……判断

第二类，附带条件，注意此类求极值其实质仍为一元函数求导，不过有隐函数的性质，注意推导过程与第一类有很大的区别，比如偏导可以都不为0，做题不要混淆了。

10．等价，合同，相似

矩阵A,B等价指A经过初等变换变换可变为B,性质就是秩相同，当然没有要求矩阵必须是n阶的，可以m*n，还有就是向量组等价定义是甲向量组每个向量都可以用乙向量组向量线性表示，乙的也可以用甲的表示称为甲乙向量组等价。两个等价有区别有联系。首先，研究对象不同，前者是矩阵后者是向量组。然后性质不同，矩阵等价必须同型，都是m*n，向量组等价不一定向量个数相同，但维数相同。当然，也有联系，如果两个向量组等价而且向量个数相同，由这些向量组成的矩阵等价〔秩相等〕，但是如果两个矩阵等价，矩阵组成的列向量却不一定等价，除非某组由另一组线性表示〔利用合并向量组极大无关组〕

相似和合同都是针对n阶方阵而言，P^(-1)AP=B,P可逆，A,B相似

P^TAP=B,P可逆，那么A,B合同。

易知，相似，合同必等价。

而相似和合同联系的核心公式则是P^(-1)=P^T，也就是实对称正交单位化那部分，他是联系的中心环节，所以相似不需要正交，而合同必须单位正交化了。理解下，这就是相似中为什么正交的原因，而相似必正交也来源于此。

容易出错的：

1．极限这一块容易出错的不少，洛必达判定条件，这是低级错误小心就是了，容易出错的是等价无穷小的代换，等价无穷小代换是有条件的，最少明白是等价无穷小，必须极限都趋近0，然后代换的量必须是整个式子的某一个因式，作为乘除代换，例：

limx->0sin3x/x=3x/x

错误的有(sinx-x)/x^3=(x-x)/x^3=0;

[(sin2x/x)-x]/x=(2-x)/x

第二个虽然某种意义是乘除，但是相对整个式子还是加减

错误原因：如果你深知泰勒公式会明白，其实等价无穷小就是泰勒公式第一部分代换sinx=x-x^3/6……,作为一个因式有没有后者没关系，这点你可以从多项式求极限中看出来，次数最小的项决定，一旦放入加法中就必须注意了，某一项是极有可能约掉了正如错误例子，你带入试试，把后者省了结果完全不同。所以加减法中要用只能是泰勒公式，因为等价无穷小太简了，后来想了想，如果非要用等价代换，保证以下条件：代换后尽量分子分母不为0，而且代换出来的没运算前保证x次数大于分母的，当然这有些罗嗦了，总之，要注意。

在等价无穷小代换中注意以上规则后，能换就换例sinx*Inx x趋近0

不要因为它在左边不敢换，否则很麻烦的。

2．参数方程求导时注意二阶求导一定在一阶基础上还要考虑x的再求导，容易疏漏。导函数求导过程中注意对谁求导，给个f(x)对y求导怎么办，f(x)对x求导乘以x对y求导不就行了。

3．导数定义的几个个条件

不确定导数存在前一定要注意导数中的定义条件：

1）自变量趋近方式，有左右趋近，必须全部满足，诸如1-cosx,x^2,在x趋近0或者e^x,x趋近负无穷等等都属于单侧极限

2）中心f(x0),在定义中必不可少，一旦丢掉可能不连续

举个例子f(2h)-f(h)/h存在在h趋近0，f(x)=x,f(0)=1

显然f(x)在0处不连续却满足极限式子，不过在版主证明贴里说过若连续给定，这个条件则可以掠掉。

3）趋近连续性，这是后来想的有些偏离了不过还是写下吧，来源于f(x)-f(x0)/(x-x0)=f’(ξ)

乍一看这个式子如果给定一个函数连续x趋近x0,ξ也趋近x0,如果可导，那么导数必连续？其实不然，因为ξ趋向x0可以不连续趋近结合极限定义当然f’不一定都连续了。

重点在前两条的把握。

4．积分中C，积分方程的隐含条件，广义积分中奇偶性的失效

5．多元函数微分中可微严格按定义判断，连续性的定义〔这里不光有原函数连续性还有偏导数连续性把握〕

6．二重积分里积分上下限确定尤其是换积分次序时注意一致性

7．变限积分中变量的把握，最外层来看自变量时上下限中的位置量，深入到内部后注意dt和f(t)的一致性，此时无论时x还是y在定积分中看作常数

8．矩阵的性质

AA*=A*A=|A|E

(A*)^T=(A^T)*

|A*|=|A|^(n-1)

等几个例子中其推导不是只有可逆才成立，方阵天然满足这些性质，可以借助定义证明。

9．变量角色变换

函数中找自变量是个不容小视的问题，有时候难不在没有思路，而是你分不清。

函数中的自变量是很灵活的既可以是x又可以是a等等，同一式子不同过程选用不同变量得出不同结论。

而变限积分看上去与一般函数不大相同因为它变量不唯一，既含有积分变量又有函数变量，而相互之间的相互参杂更可能让你分不清〔例如∫(0,x)f(a-x)da〕，更可恶的是它还让你求导。

而其实冷静思考一下，慢慢理顺你就会豁然开朗，首先从整体看，例子中是个关于x的函数，只是这个变量位置让你奇怪，又在上限，又参杂，如果你刚明白∫(0,x)f(x)dx求导你可能顺着求那么不就成f(0)，仔细想想一个函数求积分函数再导怎么变成一个数了？虽然不无可能但不是每个函数都这样吧！

所以像这种混杂的，关键是变为独立的，如果你知道定积分有积分变量无关性你会利用换元将a-x看作一块，这时候x暂时定为常数，因为在内部，它的作用不能发挥，真正变量是a，别忘记上下限了，换完后整体变量x只有在上限了，这时候f作用的只有一块了，接下来求导，你如果清楚它就是一个函数利用性质可以求导，当然，如果上下限都有变量而且都不单x这时候是符合函数的性质了，复合函数求导！给个例子∫(0,x)f(x^2-a^2)da应该会吧。

说到这里不妨想想极限和函数在一块，给个极限问你函数性质。

lim n->+∞ (1-x^n)/(1+x^n)

问你间断点，怎么考虑，

切记不要考虑太复杂，由外向内，一步一步来，考虑n趋近无穷，先找定x范围在这个范围极限是多少，这样很容易构造分段函数，列出函数式这就是考察你的目的。

有一点，大家不知道糊涂不糊涂，在判断二元函数是否偏导，例如(x-y)/(x+y)在0处求x偏导先把y=0带入为什么，是因为不带入就没法求吗？不是，既然对x求偏导自然你得知道关于x到底怎样，实质也是确定x的一元函数，再求导罢了，所以这是正确步骤。

10．量变引起质变

limx->+∞∫(-x,x)f(x)dx=a

那么∫(-∞,+∞)f(x)dx=a？

当然是错误的，顺序不同，结果完全不同，第一个是对一个定积分求极限，第二个则是广义积分，广义积分好多性质都失效。

洛必达失效：

洛必达法则可谓求极限中比较常用的方法，课本上的洛必达所要求的条件是0比0型，无穷比无穷型，上下在临域内可导就行了，我们一般做题目看到0比0或无穷比无穷很容易就会利用洛必达求极限，这个是一般思路，可是对于特别的函数会出现求导后，极限不存在的情况。

一个简单的例子：limx->∞,(x+sinx)/x

易知极限为1，但是若用洛必达则没有极限，这种例子有很多，当然“失效”类型也有很多，有的则是越导跃复杂的那种，这就要求我们不要盲目用洛必达，关于洛必达失效的应用主要说明下用完后极限不存在的那种。

从导数定义看，它当然是一个极限了，只是有点特殊：函数差与变量差的比值，这就决定了它有求极限的一般方法，当然也有自己特殊的意义

在求导中一般求导法则掌握后没什么大问题，而考察的就在于分段函数的导数了，虽然可导必连续，但连续不一定可导，研究某些点的导数开始有些意义了，分段有左右分段和中间分段两种。

无论是课本还是复习书上最基础的是用定义求导法了〔其实掌握这一方法足以〕，左导等于右导那么可导，可是我们总不甘心，这就产生另一个疑问，先求导再看极限行不行，对于大多数函数大家都会发现这是行的通的，这是为什么呢？仔细观察下，两种方法的区别，定义法是给你初始，让你判断是否有极限，而求导呢，就是在定义的基础上用的洛必达，只是进一步把方法限定了，清楚这个很关键，所以有个这样的结论：如果一个函数导函数左右极限存在那么此时，它们分别等于函数的左右导数，这是洛必达求极限的结果。

然而因为存在着洛必达失效，所以肯定会出现导数极限不存在但是却可导的例子

y=x^2*sin1/x,x不等于0;y=0,x=0

这是经典的例子，我在另一偏文章有详细分析，分析函数的导数间断点性质。

对这个函数0点你若不按定义来必然有不可导的结论，但是在0点是可导的，这就是洛必达失效的后果，它属于由于导数不连续而导致的失效。

对于一般小题目来说判断可导两者都可以的。

1. 极限 (1+f(x))^g(x)~f(x)g(x)

当f(x),g(x)都趋近0

2. 带有三角函数的和差化积的运用

3. ∫(a,b) f(x)g(x)dx= f(ξ)∫(a,b)g(x)dx

4. 证明中，如果有出现三阶及三阶以上的，泰勒公式是不错的考虑。在运用中注意f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)……

第一，x和x0都是随意的，也就是可以互换，当然也可以是f(x0)=f(x)+f’(x)(x0-x)……

自然不确定量ξ也在不断变化。

而x和x0的选择至关重要，通常选取的是 1，题目中已知的例如f(1),f(0)等等   2，没有已知可以用f(x+t),f(x-t),特殊的是t=1

3，中间变量f((a+b)/2),尤其是碰到4倍还是8倍是1/4，还是1/8都是不错的选择

到底x和x0选择哪个就要看证明结论了，这就是从结论分析的方法。

4，直角坐标和极坐标的转化：转化方程x=rcosθ,y=rsinθ

,r是点到圆心的距离，θ是这条线与极轴〔可以理解为x轴正半轴〕夹角，这点记住，因为二重积分换元可能遇到椭圆方程容易混淆，还有在确定上下积分限时候如果换元仍然依据转化方程确定r,θ的单位，即带入x,y方程即可

比如边界为x^2+y^2=2x

带入后r=2cosθ,简单吧

5. 高等数学中有一种是数形结合的方法，它可以加深对概念的理解程度，但是却不可完全依赖图形，因为数学图形是很广泛的，每个人都不可能穷尽对曲线的想象，所以解题完全依赖图形可能不全面，不能凭感觉。