专题四 一元积分

一元积分包括三部分内容：不定积分、定积分和广义积分。下面逐一讨论。

1. 不定积分

不定积分主要考什么?概念、性质、计算?计算!下面就梳理一下不定积分的计算方法。该方法可总结为"一个基础两个方法"。所谓"一个基础"指：有理函数积分的处理方法;所谓"两个方法"指根式的处理方法和分部积分法。

何谓有理函数积分?即被积函数为有理函数的积分。而有理函数即分子分母分别为n次和m次多项式的函数。有理函数积分是整个不定积分计算的基础，因为很多其他类型的积分(如指数有理式积分、三角有理式积分等)可化为有理函数积分。考试直接考有理函数积分的可能性不大，但可能间接考，也就是在计算过程中的某一步用到有理函数积分的处理方法。那如何处理?简单说就是在老旧危房的墙壁上我们经常看到的那个字--拆。如何拆?教材和较权威的辅导书上都有讨论，总结起来有三种情况：被积函数若含有x-a这种一次因子，则被积函数拆出一项A/(x-a)，其中A为待定参数;若含有(x-a)^2这种二次因子，则被积函数拆出两项A/(x-a)+ B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b这种二次因子(该抛物线无零点)，则被积函数拆出一项(Ax+B)/(x^2+ax+b)。

接下来，讨论根式的处理。若被积函数含有根号，我们自然想到去根号。如何去根号取决于根号下面表达式的具体形式：如果根号下面是关于x的一次式子，那么整体令成t，就能达到去根号的效果;如果根号下面是关于x的二次式子，要去根号，我们可以考虑通过换元让根号下面整体出现一个平方，这时要借助一些三角恒等式，如根号下面是1-x^2，我们令x=sint就能达到效果;如果根号下面是其他形式，基本思路也是去根号，可类似上面考虑。当然，这里的"换元"更严格的表述是不定积分的换元，注意不光要把被积函数中的变量换掉，还要把微分号中的变量也换成新的积分变量。

说着说着就说到了考试的重点内容分部积分了。首先要把分部积分的公式弄清楚，可以这样形式地记忆：被积函数是两个函数的乘积，先把一个函数凑微分(从形式上看就是把这个函数拿到微分号中)，进一步等于新的积分式中的两个函数相乘减去两个函数交换位置。

接下来要处理好"何时用"和"怎么用"这两个问题。数学上的道理和生活中的道理是相通的：打游戏时想放大招，若把握不好这两个问题，那就可能出现不该放招时放了大招而该放大招时却没有大招了，也可能出现想放大招却放不出的囧境;打篮球时要用好自己的身体，如果这两个问题处理不好，就可能在不恰当的时间出现在不合适的位置，想为球队做贡献却总是添乱。那么什么时候想到用分部积分法呢?有两个信号(满足其一即可)：1)被积函数是不同类型函数之积;2)被积函数含有对数函数、反三角函数和多项式等求导后比自己简单的函数。

如果确定用分部积分法，那么u(x)和v’(x)的选取是个关键问题。如何选?观察分部积分公式，不难发现等号左边有u(x)，而等号右边会出现u’(x)，说明求导后比自己简单的函数适合作为u(x)，如lnx，arctanx和多项式等;另外，等号左边有v’(x)，第一步需要把v’(x)拿到微分号中，说明容易凑微分的函数适合作为v’(x)，如sinx，exp(x)等。

考试考不定积分计算主要考察根式的处理和分部积分法。有多种小的类型，如"一箭双雕"型(用变量代换这支箭射下根号和反三角函数这两只雕)，"相互抵消"型(两项单独用分部积分难以算出结果，但在计算过程中这两项能抵消)等。需大量练习才能达到熟练的要求。

　　2. 定积分

先说定积分的定义。几何意义是曲边梯形面积的代数和。特殊情况下(区间取[0,1]，等分，在每个小区间上取右端点处的函数值)的定积分定义可作为一个公式求一种特殊类型的极限--n项分母互不相同的分式的和的极限。此外，数一数二同学还需掌握微元法的基本思想。

再说定积分的性质。定积分的大部分性质在计算过程中经常用到，在此不必赘述。值得一提的是比较定理。该定理告诉我们，比较定积分的大小，在保证积分区间相同的情况下，实质上就是比较被积函数的大小。考试考定积分的比较本质上都是在考比较定理。

微积分基本定理从本质上解决了定积分的计算问题。根据牛顿-莱布尼兹公式，求定积分在被积函数连续的情况下只需求出被积函数的一个原函数，再计算其函数值之差即可。

下面我们说说定积分有什么特殊性质。首先是对称区间积分，我们比较熟悉的是被积函数是奇函数或偶函数时的性质，此外真题中出现了一种新的情形：被积函数有一个因子是偶函数且其余部分有特殊性质，也有相应的结论。可以记住这个结论，用它来做同种类型的题目。接着就是做变量代换后区间不变的情况。如被积函数为f(sinx)，积分区间为0到pi/2，若做变量代换：x= pi/2-t可得到另一个积分，从形式上看，相当于把原积分的sin换成了cos。这也可以为我们解题提供思路。此外，就是定积分的分部积分法。这里有若干种小的类型，如被积函数含有抽象函数的导函数f’(x), f’’ (x)等，被积函数含有变限积分均可考虑定积分的分部积分法。另外，作为全面复习，"点火公式"(被积函数为sinx的n次幂，积分区间为0到pi/2)也不应放过。

　　3. 广义积分

广义积分不少同学不熟悉，实际上考研要求很明确：会用定义判断广义积分的敛散性;会计算广义积分。

定积分要存在需满足两条：积分区间有限且被积函数有界。破坏这些条件得到的积分称为广义积分。具体说来，无穷区间的广义积分有三种：积分上限为无穷，积分下限为无穷，积分上、下限均为无穷;无界函数的广义积分(也称瑕积分，因为被积函数在积分区间无界，在区间内部或端点处一定有让被积函数无界的点，这种"不好"的点我们称为瑕点)也有三种：瑕点在区间的左端点，瑕点在区间的右端点，瑕点在区间的内部。

广义积分收敛发散的定义的形式看起来较复杂，可以按照如下方式理解：把广义积分按照定积分的牛顿-莱布尼兹公式算出来(把正负无穷带入看成取极限，瑕点处的函数值也看成取极限)，如果结果是个数，则广义积分收敛;如果不存在，则广义积分发散。

这里要特别注意两类积分：积分上、下限均为无穷的广义积分和瑕点在区间的内部的广义积分。前者在用牛顿-莱布尼兹公式之前，要用0把积分区间拆成两个区间，进而把积分拆成两个积分，然后运用前面的方法讨论这两个积分的敛散性，原积分收敛的充要条件是这两个积分都收敛;后者要用瑕点把积分区间拆成两个区间，进而把积分拆成两个积分，然后运用前面的方法讨论这两个积分的敛散性，原积分收敛的充要条件是这两个积分都收敛。

广义积分的计算就是定积分加取极限。如果是上文提到的那两种特殊类型的广义积分，先拆成两个积分，再计算即可。